تاريخچه‌اى از مسائلى را كه حل آنها به يافتن ريشهء معادلات درجهء سوم منجر مىشود به دست مىدهد . همچنين در اين رساله ، به خلاف رسالهء الجبر و المقابلة كه روشى كاملا تركيبى دارد ، مسئلهء مورد نظر به شيوهء تحليلى نيز بررسى مىشود ، و از اين نظر اين رساله مدخل مهمى است براى آشنايى با راهى كه خيام براى رسيدن به روش‌هاى حل معادلات ، كه در رسالة الجبر و المقابلة ارائه شده ، پيموده است . رياضىدانان يونانى دريافته بودند كه حل برخى از مسائل هندسى به آسانى با خطكش و پرگار ممكن نيست . ازاين‌رو كوشش مىكردند كه از راه « تحليل » اين مسائل را به مسائلى ساده‌تر كه حل آنها شايد آسان‌تر باشد ، تبديل كنند . از آن جمله‌اند سه مسئلهء معروف و كلاسيك تضعيف مكعب ، تربيع دايره و تثليث زاويه . در مسئلهء تضعيف مكعب ، هدف يافتن ضلع مكعبى است كه حجم آن دو برابر مكعب مفروضى باشد . به زبان علائم جبرى ، اگر ضلع مكعب مفروض را به a و ضلع مكعب مطلوب را به x نمايش دهيم ، مسئلهء تضعيف مكعب به حل معادلهء x 3 - 2 a 3 منجر مىشود كه معادله‌اى است از درجهء سوم رياضيدانان يونانى ، بىآنكه اين راه را طى كنند ، يعنى معادله‌اى بنويسند ، دريافته بودند كه مسئلهء تضعيف مكعب را مىتوان به « درج دو واسطه ميان دو مقدار معلوم » تبديل كرد . منظور از اين اصطلاح ، يافتن مقادير ( طولهاى ) x و y است كه در روابط x / a - y / a - b / y صدق كنند . از ضرب اين روابط به دست مىآوريم : ( 1 ) x 2 - ay ( 2 ) xy - ab رابطهء ( 1 ) معادلهء يك سهمى به رأس مبدأ مختصات و رابطهء ( 2 ) معادلهء